1. Какая система сил является системой сходящихся сил?
2. Сформулируйте условие равновесия системы сходящихся сил в аналитической и геометрической формах.
3. Сформулируйте правила построения силового многоугольника.
4. Приведите формулу для определения равнодействующей системы сходящихся сил.
5. В каком случае проекция силы равна 0?
6. В каком случае проекция силы положительна?
Цель работы: Закрепить теоретические знания и умения определять реакции в опорах балочных систем
Образовательные результаты, соответствующие ФГОС:
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.
ПК 3.1. Конструировать элементы систем водоснабжения и водоотведения, отопления, вентиляции и кондиционирования воздуха.
ПК 3.2. Выполнять основы расчета систем водоснабжения и водоотведения, отопления, вентиляции и кондиционирования воздуха.
Обучающийся должен знать основные понятия и законы механики твердого тела.
Форма работы - индивидуальная.
Характер работы - частично-поисковый.
Краткие теоретические и справочно-информационные материалы по теме:
Очень часто в машинах и конструкциях встречаются тела удлиненной формы, называемые балками (или балочными системами). Балки в основном предназначены для восприятия поперечных нагрузок. Балки имеют специальные опорные устройства для сопряжения их с другими элементами и передачи на них усилий.
Неизвестные числовые значения реакций опорных устройств балки определяются через систему уравнений равновесия.
Уравнения равновесия произвольной плоской системы сил могут быть представлены в трех формах. Первая (основная форма этих уравнений):
https://pandia.ru/text/80/184/images/image022_18.jpg" width="316" height="43 src=">
Это вторая форма уравнений равновесия.
Третья форма уравнений равновесия представляет собой равенство нулю сумм моментов относительно двух произвольных точек А и В и равенство нулю суммы проекций на некоторую ось х:
https://pandia.ru/text/80/184/images/image024_12.jpg" width="185" height="26 src=">
Вторая и третья формы уравнений равновесия для плоской системы параллельных сил примут одинаковый вид:
https://pandia.ru/text/80/184/images/image026_16.gif" width="58" height="23">или Учебные пособия" href="/text/category/uchebnie_posobiya/" rel="bookmark">учебное пособие / . - 2-е изд. - М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2012.
Проверка знаний и умений (необходимых для выполнения практической работы)
Задание 1.
Задание 2.
1. Заменить распределенную нагрузку ее равнодействующей и указать точку ее приложения.
2. Освободить балку от связей, заменив их реакциями.
3. Выбрать систему уравнений равновесия.
4. Решить уравнения равновесия.
5. Выполнить проверку решения.
Примеры расчета :
Задание 1. Определить величины реакций в заделке. Провести проверку правильности решения.
https://pandia.ru/text/80/184/images/image032_11.gif" width="247 height=19" height="19">
2. Освобождаем балку АВ от связей, отбрасываем заделку в точке А и заменяем действие заделки возможными реакциями, возникающими в опоре – реактивным моментом МА и составляющими реакциями и . Получили плоскую систему параллельно расположенных сил, значит .
3. Выбираем систему уравнений равновесия:
4. Решение начинаем с крайней левой точки.
https://pandia.ru/text/80/184/images/image038_12.gif" width="205" height="25 src=">
В уравнении учитываем все моменты, которые создаются действующими силами находящимися на расстоянии относительно точки А.(Реакции, находящиеся в точке А, в уравнении не учитываются, так как они не создают плеча с точкой).
https://pandia.ru/text/80/184/images/image041_11.gif" width="516" height="45">
Решение выполнено, верно.
Задание 2. Определить величины реакций в шарнирных опорах балки. Провести проверку правильности решения.
Знать теорему Пуансо о приведении силы к точке.
Уметь приводить произвольную плоскую систему сил к точке, определяя величины главного вектора и главного момента системы.
Знать три формы уравнений равновесия и уметь ими пользоваться при определении реакций в опорах балочных систем.
Основные формулы и предпосылки расчета
Виды опор балок и их реакции (рис. П2.1)
Моменты пары сил и силы относительно точки (рис. П2.2)
Главный вектор
Главный момент
Условия равновесия
Проверка:
Проверка:
Упражнения при подготовке к самостоятельной работе
4. Перенести силу F в точку А, используя теорему Пуансо (рис. П2.3).
F = 20кН; АВ = 6м; ВС = 2м.
2. Привести систему сил к точке В , определить главный вектор и главный момент системы сил (рис. П2.4). АВ = 2м; ВС = 1,5м; CD = 1м. F 1 = 18кН; F 2 = 10кН; F 3 = 30кН; т = 36кН-м.
3. Система сил находится в равновесии. Определить величину момента пары т (рис. П2.5).
F 1 = F 1 ’ = 10 кН; F 2 = F 2 ’ = 20кН.
4. Нанести реакции в опорах балок 1 и 2 (рис. П2.6).
 |
6. Записать систему уравнений равновесия для определения реакций в опоре защемленной балки.
7. Записать систему уравнений равновесия для определения реакций в опорах двухопорной балки, закрепленной на двух шарнирах.
Расчетно-графическая работа №2. Определение реакций в опорах балочных систем под действием сосредоточенных сил и пар сил
Задание 1. Определить величины реакций в опоре защемленной балки. Провести проверку правильности решения.
 |
 |
Расчетно-графическая работа №3. Определение величин реакций в опорах балочных систем под действием сосредоточенных и распределенных нагрузок
Задание 1. Определить величины реакций в заделке. Провести проверку правильности решения.
Задание 2. Определить величины реакций в шарнирных опорах балки. Провести проверку правильности решения.
При защите работ ответить на вопросы карт с тестовыми заданиями.
Тема 1.4. Статика. Произвольная плоская система сил
 |
ЛЕКЦИЯ 9
Тема 1.7. Основные понятия кинематики. Кинематика точки
Иметь представление о пространстве, времени, траектории, пути, скорости и ускорении.
Знать способы задания движения точки (естественный и координатный).
Знать обозначения, единицы измерения, взаимосвязь кинематических параметров движения, формулы для определения скоростей и ускорений (без вывода).
Кинематика рассматривает движение как перемещение в пространстве. Причины, вызывающие движение, не рассматриваются. Кинематика устанавливает способы задания движения и определяет методы определения кинематических параметров движения.
Рассмотрен порядок решения задач на определение реакций опор балок. Приводится пример решения задачи и проверка правильности определения реакций. Приводится решение задачи вторым способом.
СодержаниеУсловие задачи.
Жесткая балка, линейные размеры которой указаны на рисунке 1, закреплена в точках А и В. На балку действуют пара сил с моментом М, равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q и две силы P и G, место приложения которых показано на рисунке.
Определить реакции опор балки в точках A и В, вызываемые указанными нагрузками.
Дано:
P = 20,2 Н
;
G = 22,6 Н
;
q = 2 Н/м
;
M = 42,8 Н·м
;
a = 1,3 м
;
b = 3,9 м
;
α = 45°
;
Проводим оси x и y системы координат. Начало системы координат поместим в точку A . Ось x направим горизонтально, вдоль балки. Ось y - вертикально. Ось z перпендикулярна плоскости рисунка и направлена на нас. На рисунке она не указана.
Силы, действующие на балку.
Отбрасываем опоры и заменяем их силами реакций.
В шарнире A
,
разложим силу реакции на составляющие и вдоль осей координат.
Реакция ,
в подвижной опоре на катках, направлена вертикально. Предполагаемые направления реакций опор выбираем по своему усмотрению, наугад. Если ошибемся с направлением реакции, то получим отрицательное значение, что будет говорить о том, что соответствующая сила реакции направлена в противоположную сторону.
Заменим равномерно распределенную нагрузку q
равнодействующей .
Абсолютное значение равнодействующей равно площади эпюры:
Н
.
Точка приложения равнодействующей находится в центре тяжести эпюры. Поскольку эпюра представляет собой прямоугольник, то ее центр тяжести находится в точке C
- посередине отрезка AD
:
AC = CD = b/2 = 1,95 м
.
Определяем проекции сил на оси координат.
Разложим силу на составляющие вдоль координатных осей:
.
Абсолютные значения составляющих:
.
Вектор параллелен оси x
и направлен в противоположную от нее сторону. Вектор параллелен оси y
и также направлен в противоположную сторону. Поэтому проекции силы на оси координат имеют следующие значения:
.
Остальные силы параллельны осям координат. Поэтому они имеют следующие проекции:
;
;
;
;
.
Составляем уравнения равновесия для сил.
Сумма проекций всех сил на ось x
равна нулю:
;
;
;
(П1)
.
Сумма проекций всех сил на ось y
равна нулю:
;
;
;
(П2)
.
Итак, мы уже составили два уравнения для сил: (П1) и (П2). Но в них есть три неизвестные величины: , и . Чтобы их определить, нам нужно составить еще одно уравнение.
Составим уравнение равновесия для моментов сил. Для этого нам нужно выбрать ось, относительно которой мы будем вычислять моменты. В качестве такой оси возьмем ось, проходящую через точку A , перпендикулярно плоскости рисунка. За положительное направление выберем то, которое направлено на нас. Тогда, по правилу правого винта, положительным направлением закручивания будет направление против часовой стрелки.
Находим моменты сил относительно выбранной оси.
Силы ,
и пересекают ось. Поэтому их моменты равны нулю:
;
;
.
Сила перпендикулярна плечу AB
.
Ее момент:
.
Поскольку, относительно оси A
,
сила направлена против часовой стрелки, то ее момент положительный.
Сила перпендикулярна плечу AK
.
Поскольку, относительно оси A
,
эта сила направлена по часовой стрелки, то ее момент имеет отрицательное значение:
.
Аналогичным способом находим моменты остальных сил:
;
.
Момент от пары сил M
не зависит от точек приложения сил, входящих в пару:
.
Составляем уравнение равновесия. Сумма моментов сил относительно оси A
равна нулю:
;
;
;
(П3)
.
Итак, для трех неизвестных величин, мы получили три уравнения:
(П1)
.
(П2)
.
(П3)
.
Решаем эти уравнения. Вычисляем расстояния.
м;
м;
м;
м.
Из уравнения (П1) находим:
Н.
Из уравнения (П3) находим:
Н.
Из уравнения (П2) имеем:
Н.
Абсолютное значение реакции опоры в точке A
:
Н.
Чтобы проверить, правильно ли мы определили реакции опор балки, найдем сумму моментов сил относительно другой оси. Если мы нашли реакции правильно, то она должна равняться нулю.
Возьмем ось, проходящую через точку E
.
Вычисляем сумму моментов сил относительно этой оси:
.
Найдем погрешность вычисления суммы моментов. Найденные силы мы округлили до двух знаков после запятой. То есть погрешность определения реакций опор составляет 0,01 Н
.
Расстояния, по порядку величины, примерно равны 10 м. Тогда погрешность вычисления суммы моментов составляет около 10·0,01 = 0,1 Нм
.
Мы получили значение -0,03 Нм
.
Эта величина отличается от нуля не более, чем на величину погрешности. То есть, с учетом погрешности вычислений, сумма моментов относительно другой оси равна нулю. Значит решение правильное, силы реакций найдены верно.
Первым способом мы составили два уравнения для сил и одно - для моментов. Задачу можно решить другим способом, составив два уравнения для моментов и одно для сил.
Воспользуемся тем, что сумма моментов сил равна нулю относительно любой оси. Возьмем вторую ось, которая проходит через точку B
перпендикулярно плоскости рисунка. Сумма моментов сил относительно этой равна нулю:
.
Вычисляем моменты сил относительно оси B
.
;
;
;
;
;
;
;
.
Сумма моментов сил относительно оси B
равна нулю:
;
;
;
(П4)
;
Итак, вторым способом, мы также имеем три уравнения:
(П1)
.
(П3)
;
(П4)
.
Здесь каждое уравнение содержит только одну неизвестную величину. Реакции и определяются из тех же уравнений, что и ранее. Находим силу из уравнения (П4):
Н.
Значение реакции совпало со значением, полученным первым способом из уравнения (П2).
Решение
2 . В заделке может возникнуть реакция, представляемая двум: составляющими (R Ay ,R Ax ), и реактивный момент М A . Наносим на схему балки возможные направления реакций.
Замечание. Если направления выбраны неверно, при расчетах получим отрицательные значения реакций. В этом случае реакции на схеме следует направить в противоположную сторону, не повторяя расчета.
В силу малой высоты считают , что все точки балки находятся на одной прямой; все три неизвестные реакции приложены в одной точке. Для решения удобно использовать систему уравнений равновесия в первой форме. Каждое уравнение будет содержать одну неизвестную.
Знаки полученных реакций (+), следовательно, направления ре-акций выбраны верно.
3 . Для проверки правильности решения составляем уравнение моментов относительно точки В.
Подставляем значения полученных реакций:
Решение выполнено верно.
Пример 2. Двухопорная балка с шарнирными опорами А и В нагружена сосредоточенной силой F, распределенной нагрузкой с интенсивностью q и парой сил с моментом т (рис. 6.8а). Определить реакции опор.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПОРНЫХ РЕАКЦИЙ БАЛКИ
Последовательность решения задачи
1. Балку освободить от связей (связи) и их (его) действие заменить силами реакций.
2. Выбрать координатные оси.
3. Составить и решить уравнения равновесия.
Реакции опор можно определить, исходя из трех форм уравнений равновесия:
а)
å F i х = 0;
å F i у = 0 ;
å М А = 0;
б)
å F i х = 0;
å М А = 0;
å М В = 0;
в)
å М А = 0;
å М В = 0;
å М С = 0.
4. Проверить правильность решения задачи. Проверку необходимо производить по тому уравнению равновесия, которое не было использовано при решении данной задачи (задача решена правильно лишь в том случае, если после постановки значений активных и реактивных сил в уравнение равновесия выполняется условие равновесия).
5. Сделать анализ решенной задачи (если при решении задачи реакции опор или реактивный момент получается отрицательным, то их действительное направление противоположно принятому).
Пример 1. Определить реакции опор балки, если известно
F = 2 0 кН, М =10 кН м, q = 1 кН /м (рис. 1).
Рис. 1 - Схема задачи
Решение:
Х с балкой, а ось У направив перпендикулярно оси Х.
3 . α
F х = F с os 30 = 20 0,866 = 17, 32 кН
F у = F с os 60 = 20 0,5 = 10 кН ,
Q = q CD = 1 2 = 2 кН ,
Равнодействующая Q приложена в середине участка CD , в точке К (рис. 2).
Рис. 2 - Схема преобразования заданных активных сил
4.Освобождаем балку от опор, заменив их опорными реакциями, направленными вдоль выбранных осей координат (рис 3).
Рис. 3 - Схема реакций балки
å М А = 0; F у АВ + M + Q AK - R Dy AD = 0 (1)
å М D = 0; R Ay AD - F у В D + M - Q KD = 0 (2)
å F i х = 0; R A х - F х = 0 (3)
6. Определяем реакции опор балок R Ay , R Dy и R A х решая уравнения.
Из уравнения (1) получаем
R Dy = F у АВ + M + Q AK / AD = 10 1 + 10 + 2 3 / 4 = 6,5 кН
Из уравнения (2) получаем
R Ay = F у В D - M + Q KD / AD =10 3 - 10 + 2 / 4 = 5,5 кН
Из уравнения (3) получаем
R A х = F х = F с os 30 = 20 0,866 = 17, 32 кН
7 . П
å F i y = 0; R Ay - F у - Q + R Dy = 5,5 - 10 - 2 + 6,5 = 0
Условие равновесия å F i y = 0 выполняется, следовательно, реакции опор найдены верно.
Пример 2. Определить реакции заделки, если известно
F = 2 0 кН, М =10 кН м, q = 1 кН /м (рис. 4 ).
Рис. 4 - Схема задачи
Решение:
2. Выбираем расположение координатных осей, совместив ось Х с балкой, а ось У направив перпендикулярно оси Х.
3 . Производим необходимые преобразования заданных активных сил: силу, накопленную к оси балки под углом α , заменяем двумя взаимно перпендикулярными составляющими
F х = F с os 30 = 20 0,866 = 17, 32 кН
F у = F с os 60 = 20 0,5 = 10 кН ,
а равномерно распределенную нагрузку - её равнодействующей
Q = q CD = 1 2 = 2 кН ,
Равнодействующая Q приложена в середине участка CD , в точке К (рис. 5).
Рис. 5 - Схема преобразования заданных активных сил
4.Освобождаем балку от заделки, заменив её опорными реакциями, направленными вдоль выбранных осей координат и реактивным моментом (моментом заделки, М 3 )(рис 6).
Рис. 6 - Схема реакций балки
5.Составляем уравнения равновесия статики для произвольной плоской системы сил таким образом и в такой последовательности, чтобы решением каждого из этих уравнений было определение одной из неизвестных реакций опор и определяем неизвестные реакции опор.
å М А = 0; M 3 + F у АВ + M + Q AK = 0 (1)
å М В = 0; M 3 + R Ay A В + M + Q В K = 0 (2)
å F i х = 0; R A х - F х = 0 (3)
6. Определяем реакции опор балки R A х , R Ay и момента заделки М 3 решая уравнения.
Из уравнения (1) получаем
M 3 = - F у АВ - M - Q AK = - 10 1 - 10 - 2 3 = - 26 кН м
Из уравнения (2) получаем
R Ay = - Q В K - M - M 3 / A В = - 2 2 - 10 -(-26) / 1 = 12 кН
Из уравнения (3) получаем
R A х = F х = F с os 30 = 20 0,866 = 17, 32 кН
7 . П роверяем правильность найденных результатов:
å F i y = 0; R Ay - F у - Q = 12 - 10 - 2 = 0
Условие равновесия å F i y = 0 выполняется, следовательно, реакции опоры найдены верно.
Задача 1. Определить реакции опор двухопорной балки (рисунок 7). Данные своего варианта взять из таблицы 1
Таблица 1 - Исходные данные
Номер схемы на рисунке 7
F
q
M
Варианты
кH
кH/ м
кH м
