Цель урока: распространить решение прямой и обратной задачи механики на случай движения тела под действием нескольких сил и движение связанных тел.
Тип урока: комбинированный.
План урока: 1. Вступительная часть 1-2 мин.
2. Опрос 15 мин.
3. Объяснение 25 мин.
4. Задание на дом 2-3 мин.
II. Опрос фундаментальный: Движение под действием силы трения.
Задачи:
1. Чему должен быть равен минимальный коэффициент трения между шинами двух задних ведущих колес и поверхностью наклонной дороги с уклоном 30 0 , чтобы автомобиль мог двигаться по ней вверх с ускорением 0,6 м/с 2 ? Нагрузка на колеса распределена равномерно. Размерами автомобиля пренебречь.
2. Брусок массой m из состояния покоя под действием силы F, направленной вдоль горизонтального стола, начинает двигаться по его поверхности. Через время Δt 1 действие силы F прекращается и, спустя время Δt 2 после этого, брусок останавливается. Чему равна сила трения, действующая на брусок во время движения? На какое расстояние брусок переместится за все время движения?
3. Два шарика одного и того же диаметра, имеющие массы 1 кг и 2 кг, связаны между собой легкой и длинной нерастяжимой нитью. Шарика сбросили с достаточно большой высоты над Землей. Найдите натяжение нити при установившемся падении шариков.
Вопросы:
III . Объясните на примерах задач, решаемых учителем.
Задачи:
1. С каким ускорением движется брусок по наклонной плоскости с углом наклона 30 о при коэффициенте трения 0,2? При каком условии брусок будет скользить (tgα ≥ μ )? Рассмотреть оба случая: движение вверх, движение вниз.
2. Устройство, показанное на рис. 1, в котором два груза поддерживаются блоком, называется машиной Атвуда. Считая, что блок не обладает ни массой, ни трением, вычислите: а) ускорение системы; б) натяжение нити. Проверка справедливости второго закона Ньютона и измерение ускорения свободного падения с помощью машины Атвуда.
В этой задаче необходимо найти отношение силы натяжения к
Рис. 3. Решение задачи 1 ()
Растянутая нить в этой системе действует на брусок 2, заставляя его двигаться вперед, но она также действует и на брусок 1, пытаясь препятствовать его движению. Эти две силы натяжения равны по величине, и нам как раз необходимо найти эту силу натяжения. В таких задачах необходимо упростить решение следующим образом: считаем, что сила является единственной внешней силой, которая заставляет двигаться систему трех одинаковых брусков, и ускорение остается неизменным, то есть сила заставляет двигаться все три бруска с одинаковым ускорением. Тогда натяжение всегда двигает только один брусок и будет равно mа по второму закону Ньютона. будет равно удвоенному произведению массы на ускорение, так как третий брусок находится на втором и нить натяжения должна уже двигать два бруска. В таком случае отношение к будет равно 2. Правильный ответ - первый.
Два тела массой и , связанные невесомой нерастяжимой нитью, могут без трения скользить по гладкой горизонтальной поверхности под действием постоянной силы (Рис. 4). Чему равно отношение сил натяжения нити в случаях а и б?
Выбор ответа: 1. 2/3; 2. 1; 3. 3/2; 4. 9/4.
Рис. 4. Иллюстрация к задаче 2 ()
Рис. 5. Решение задачи 2 ()
На бруски действует одна и та же сила, только в разных направлениях, поэтому ускорение в случае «а» и случае «б» будет одним и тем же, так как одна и та же сила вызывает ускорение двух масс. Но в случае «а» эта сила натяжения заставляет двигаться еще и брусок 2, в случае «б» это брусок 1. Тогда отношение этих сил будет равно отношению их масс и мы получим ответ - 1,5. Это третий ответ.
На столе лежит брусок массой 1 кг, к которому привязана нить, перекинутая через неподвижный блок. Ко второму концу нити подвешен груз массой 0,5 кг (Рис. 6). Определить ускорение, с которым движется брусок, если коэффициент трения бруска о стол составляет 0,35.
Рис. 6. Иллюстрация к задаче 3 ()
Записываем краткое условие задачи:
Рис. 7. Решение задачи 3 ()
Необходимо помнить, что силы натяжения и как векторы разные, но величины этих сил одинаковы и равны Точно также у нас будут одинаковы и ускорения этих тел, так как они связаны нерастяжимой нитью, хотя направлены они в разные стороны: - горизонтально, - вертикально. Соответственно, и оси для каждого из тел выбираем свои. Запишем уравнения второго закона Ньютона для каждого из этих тел, при сложении внутренние силы натяжения сократятся, и получим обычное уравнение, подставив в него данные, получим, что ускорение равно .
Для решения таких задач можно пользоваться методом, который использовался в прошлом веке: движущей силой в данном случае является результирующая внешних сил, приложенных к телу. Заставляет двигаться эту систему сила тяжести второго тела, но мешает движению сила трения бруска о стол, в этом случае:
Так как движутся оба тела, то движущая масса будет равна сумме масс , тогда ускорение будет равно отношению движущей силы на движущую массу 
Так можно сразу прийти к ответу.
В вершине двух наклонных плоскостей, составляющих с горизонтом углы и , закреплен блок. По поверхности плоскостей при коэффициенте трения 0,2 движутся бруски кг и , связанные нитью, перекинутой через блок (Рис. 8). Найти силу давления на ось блока.
Рис. 8. Иллюстрация к задаче 4 ()
Выполним краткую запись условия задачи и поясняющий чертеж (рис. 9):
Рис. 9. Решение задачи 4 ()
Мы помним, что если одна плоскость составляет угол в 60 0 с горизонтом, а вторая плоскость - 30 0 с горизонтом, то угол при вершине будет 90 0 , это обычный прямоугольный треугольник. Через блок перекинута нить, к которой подвешены бруски, они тянут вниз с одной и той же силой, и действие сил натяжения F н1 и F н2 приводит к тому, что на блок действует их результирующая сила. Но между собой эти силы натяжения будут равны, составляют они между собой прямой угол, поэтому при сложении этих сил получается квадрат вместо обычного параллелограмма. Искомая сила F д является диагональю квадрата. Мы видим, что для результата нам необходимо найти силу натяжения нити. Проведем анализ: в какую сторону движется система из двух связанных брусков? Более массивный брусок, естественно, перетянет более легкий, брусок 1 будет соскальзывать вниз, а брусок 2 будет двигаться наверх по склону, тогда уравнение второго закона Ньютона для каждого из брусков будет выглядеть:
Решение системы уравнений для связанных тел выполняется методом сложения, далее преобразовываем и находим ускорение:
Это значение ускорения необходимо подставить в формулу для силы натяжения и найти силу давления на ось блока:
Мы выяснили, что сила давления на ось блока приблизительно равна 16 Н.
Мы рассмотрели различные способы решения задач, которые многим из вас пригодятся в дальнейшем, чтобы понять принципы устройства и работы тех машин и механизмов, с которыми придется иметь дело на производстве, в армии, в быту.
Список литературы
Домашнее задание
Мы продолжаем изучать динамику - раздел физики, изучающий причины возникновения механического движения.
Часто мы решаем задачи, в которых есть несколько связанных между собой тел, на каждое из которых действуют несколько сил. Мы уже решали задачи по динамике и знаем, как это делается. Как обычно, мы:
1) определяем все силы, действующие на тело;
2) выбираем удобную систему координат;
3) применяем второй закон Ньютона, то есть записываем векторную сумму действующих на тело сил и приравниваем ее ;
4) чтобы привести уравнение к виду, в котором мы можем его легко решить,
записываем его в проекциях на выбранные оси координат.
Задача
Два ученика на роликовых коньках держатся за веревку, протянутую между ними. Когда они начинают вдвоем вытягивать веревку, первый начинает двигаться с ускорением . С каким ускорением движется второй, если его масса в 1,5 раза меньше? Силой трения между землей и роликами пренебречь.
Анализ условия:
В задаче описаны два ученика, связанные через веревку;
На каждого ученика действует сила тяжести и , сила реакции опоры и и сила натяжения веревки и . Обозначим их на рис. 1.
Рис. 1. Силы, действующие на первого ученика (слева), второго (справа)
Ученики взаимодействуют между собой через веревку с силами, по третьему закону Ньютона, равными по модулю: .
Силы, действующие на каждого ученика, вызывают его ускорение, будем применять второй закон Ньютона. Ученики не связаны веревкой жестко, они вытягивают веревку, перехватывая ее, поэтому их ускорения могут отличаться.
Обратим внимание, что, применяя второй закон Ньютона к ученику, мы учитываем именно силы, которые действуют на ученика. Мы не должны, например, ошибочно учесть силу, с которой ученик тащит на веревку, нам важна сила, с которой веревка действует на ученика.
Решение
Выберем систему координат. Удобно направить ось х вдоль веревки, а ось у перпендикулярно ей вверх (рис. 2).
Рис. 2. Выбранная система координат
Запишем полученные выражения в проекциях на выбранные оси координат. В проекции на ось у имеем , , для решения задачи уравнения никакой информации не несут. В проекции на ось х запишем:
С учетом того что , а отношение масс по условию задачи , запишем:
Приравняв правые части уравнений, получим: .
Задача решена: ускорение второго ученика в полтора раза больше ускорения первого.
На нити, переброшенной через неподвижный блок, подвешены грузы массами m и 2m. С каким ускорением будут двигаться грузы, если их отпустить? Трением в блоке пренебречь.
Анализ условия:
На каждый из них действует сила тяжести и одинаковая по модулю сила натяжения нити (по третьему закону Ньютона);
Грузы жестко связаны нерастяжимой нитью, значит, они оба движутся с одинаковым ускорением, по второму закону Ньютона, вызванным равнодействующей силой для каждого груза;
Естественно предположить, что ускорение будет направлено в сторону более тяжелого груза (рис. 3).
Рис. 3. Силы, действующие на грузы
Решение
Тела движутся вдоль вертикального направления, поэтому направим координатную ось вертикально, например, вниз.
Применим второй закон Ньютона для каждого тела:
Запишем в проекции на ось у и получим систему уравнений: 
.
Остается решить систему и найти ускорение, которое получим равным .
|
Вычтем второе уравнение из первого: |
Два бруска, массы которых равны и , связаны нитью и лежат на гладком столе. К одному из брусков приложена сила , направленная параллельно плоскости стола. При каком максимальном значении силы нить оборвется, если сила будет приложена: а) к бруску массой ; б) к бруску массой ? Нить выдерживает максимальную силу натяжения . Трением пренебречь.
Анализ условия:
В задаче описаны два связанных груза;
Решим задачу для случая а . Тогда на первый брусок действует сила тяжести , сила реакции опоры , сила натяжения нити и сила . На второй брусок действует сила тяжести , сила реакции опоры и сила натяжения нити . Обозначим силы на рис. 3.
Рис. 3. Решение задачи для случая а
По третьему закону Ньютона ;
Грузы жестко связаны нерастяжимой нитью, значит, они оба движутся с одинаковым ускорением. Будем применять второй закон Ньютона.
Нам нужно решить задачу для случая, когда нить вот-вот разорвется, поэтому при вычислениях подставим значение .
Решение
Выберем систему координат. Как и в одной из предыдущих задач, в проекции на вертикальную ось координат мы получим для каждого бруска, что , нас в данной задаче это не интересует. Поэтому нам будет достаточно одной оси, направим ее вдоль действия силы (рис.4).
Применим второй закон Ньютона для каждого тела:
Запишем в проекции на ось x. Сразу подставим значения сил и и получим систему уравнений: 
.
Остается решить систему и найти .
|
Математическая часть решения задачи
Выразим из второго уравнения ускорение : . Подставим в первое и выразим : Вычислим: |
Получим конечную формулу 
и ответ 16,3 Н. При ответе на вопрос б
(показать графикой условие) задача будет решаться точно так же, только бруски 1 и 2 поменяются местами. Рекомендую вам проделать это самостоятельно, а я подставлю в конечной формуле вместо - и, наоборот, получим:
Четыре одинаковых бруска массой каждый связаны нитями и лежат на гладком столе (рис. 5). К первому бруску приложена сила , параллельная плоскости стола. Найдите силы натяжения всех нитей.
Рис. 5. Условие задачи
Анализ условия:
В задаче описаны четыре связанных бруска;
На каждый брусок действует сила тяжести , сила реакции опоры , силы натяжения нитей , которые прикреплены к рассматриваемому бруску, и на первый брусок еще действует сила .
По третьему закону Ньютона, первая нить действует на первый и второй груз с одинаковыми силами, равными по модулю и противоположными по направлению, обозначим это на рисунке как и . Вторая нить действует на второй и третий брусок с силами, равными и т.д. (рис.6).
Рис. 6. Силы, действующие на бруски
Грузы жестко связаны нерастяжимыми нитями, значит, они все движутся с одинаковым ускорением. Будем применять второй закон Ньютона.
Решение
Выберем систему координат. Как и в предыдущей задаче, в проекции на вертикальную ось координат мы получим для каждого бруска, что , нас в данной задаче это не интересует. Поэтому нам будет достаточно одной оси, направим ее вдоль действия силы .Применим второй закон Ньютона для каждого бруска.
Основной задачей динамики при рассмотрении движения связанных тел в разных системах отсчета является объяснение причин, которые определяют характер движения. При этом возникает необходимость понять, при каких условиях системы тел движутся по прямой линии, в каком случае их траекторией является кривая, в результате действия каких причин тела движутся равномерно, ускоренно или замедленно.
При изучении поведения систем связанных тел со скоростями много меньшими скорости света используют классические законы Ньютона:
Если тела не взаимодействуют с другими телами или действие других тел скомпенсировано, то скорость системы не изменяется ни по модулю, ни по направлению. Система перемещается равномерно и прямолинейно.
Сила ($\overline{F}$), вызывающая ускорение системы тел ($\overline{a}$), в инерциальной системе отсчета пропорциональная массе ($m$) тел, умноженной на его ускорение:
\[\overline{F}=m\overline{a}\left(1\right).\]
Силы взаимодействия тел равны по величине, направлены вдоль одной прямой и имеют противоположные направления.
Если не указано иное, то связи, обычно нити, считают нерастяжимыми и невесомыми. В таком случае при рассмотрении движения связанных тел необходимо помнить, что ускорение движения тел в системе одинаково (результат действия связей). Силу натяжения нитей считают равной по всей длине нити.
В некоторых случаях можно выбирать разные системы координат при рассмотрении движения разных тел системы.
Пример 1
Задание. На горизонтальной поверхности находится тележка, имеющая массу $M$. К ней привязана невесомая, нерастяжимая нить. Нить перекинута через невесомый блок. Ко второму концу нити прикреплен груз массой $m$ (рис.1). С каким ускорением будет двигаться тележка. Силы трения не учитывать.
Решение. Изобразим силы, которые действуют на тележку и груз на рис.1. и ускорения движения тел системы. Помним, что сил трения нет. Отметим, что ускорения связанных тел (тележки и груза) будут одинаковы, кроме этого силы натяжения нити ($\overline{N}$), действующие на тележку и на груз равны по величине (блок невесомый), но имеют разные направления (рис.1). Запишем второй закон Ньютона для тележки:
\[{\overline{F}}_R+M\overline{g}+\overline{N}=M\overline{a}\left(1.1\right).\]
Основной закон динамики для груза имеет вид:
Систему отсчета свяжем с Землей, запишем проекции уравнения (1.1) на оси координат:
\[\left\{ \begin{array}{c} X:N=Ma \\ Y:Mg=F_R \end{array} \right.\left(1.3\right).\]
В проекциях на эти же оси координат уравнение (1.2) даст одно скалярное уравнение:
\[\left\{ \begin{array}{c} X:mg-N=ma \\ Y:0 \end{array} \right.\left(1.4\right).\]
Из первого уравнения системы (1.3) и уравнения (1.4) имеем:
Выразим из (1.5) искомое ускорение:
Ответ. $a=\frac{m}{M+m}$
Пример 2
Задание. Два груза массами $m_1\ и\ m_2,$ связанные невесомой нитью, скользят по гладкой поверхности. На груз массы $m_1\ $действует с силой F направленной горизонтально (рис.2). Каково ускорение грузов? Какой будет сила натяжения нити, связывающей эти грузы? Силу трения грузов о поверхность не учитывайте. \textit{}
Решение. На рис. 2 изобразим силы, действующие на груз массы $m_1$ (рис.2).
В соответствии со вторым законом Ньютона запишем:
Систему отсчета свяжем с Землей, выберем направления осей координат (рис.2).
Для решения задачи нам потребуется проекция уравнения (2.1) только на ось Y:
В уравнении (2.2) мы имеем две неизвестные величины: сила натяжения нити ($T$) и ускорение тела ($a$). Для нахождения ускорения с которым движется первое тело и вся система из связанных тел, выясним, какие силы действуют на систему, если оба тела считать одним целым. Тогда на систему массой $m_1+m_2$ действует одна сила $\overline{F}$. В этом случае второй закон Ньютона принимает вид:
\[\left(m_1+m_2\right)\overline{a}=\overline{F}+\left(m_1+m_2\right)\overline{g}+\overline{N}\left(2.3\right).\]
В проекции на ось Y формулы (2.3) получим:
\[\left(m_1+m_2\right)a=F\ \left(2.4\right).\]
Из (2.4) ускорение тел равно:
Из (2.2) и (2.5) получим силу натяжения нити равной:
Ответ. $\ 1)a=\frac{F}{m_1+m_2}.$ 2) $T=F\left(1-\frac{m_1}{m_1+m_2}\right)$
Найдите ускорение груза массой $3m$ в системе, состоящей из неподвижного блока и подвижного блока. Массами блоков и трением в их осях пренебречь. Нить, переброшенная через блоки, невесома и нерастяжима. Ускорение свободного падения $g$.
Выберем систему отсчета, связанную с неподвижным блоком. Систему координат выберем так, как показано на рисунке (ось координат $Oy$ выделена красным цветом ). Это инерциальная система отсчета, так как она неподвижна по отношению к Земле. В ней выполняются законы Ньютона.
1) Нарисуем силы, действующие на тело массой $m$ (на рисунке обозначены синим цветом ): $m\vec{g_{}}$ - сила тяжести, всегда направленная вертикально вниз; $\vec{T_{}}$ - сила натяжения нити, направленная по нити от тела.
2) Нарисуем силы, действующие систему, состоящую из тела массой $3m$ и подвижного блока (на рисунке обозначены зеленым цветом ): $3m\vec{g_{}}$ - сила тяжести; $\vec{T_{}}$ - сила натяжения нити, направленная по нити от тела.
Предположим, что грузы движутся так, как показано на рисунке. Ускорение груза массой $3m$ обозначим $\vec{a_1}$, а груза массой $m$ - $\vec{a_2}$.
3) По второму закону Ньютона для тела массой $m$: $\,\vec{R_2}=m\vec{a_2}$, то есть $m\vec{g_{}}+\vec{T_{ } }=m\vec{a_2}$.
В проекции на ось $Oy$:
$T-mg=ma_2\,\, (1). $
4) По второму закону Ньютона для тела массой $3m$: $\,\vec{R_1}=3m\vec{a_1}$, то есть $3m\vec{g_{}}+2\vec{T_{ } }=3m\vec{a_1}$.
В проекции на ось $Oy$:
$2T-3mg=-3ma_1\,\, (2).$
5) Чтобы найти связь ускорений $a_1$ и $a_2$ нужно разобраться с кинематической связью тел. Подвижный блок дает выигрыш в силе в два раза. Согласно золотому правилу механики, во сколько раз выигрываем в усилии, во столько же раз проигрываем в расстоянии. Это означает, что если тело массой $3m$ опустится на расстояние $x$, то тело массой $m$ поднимется на $2x$, следовательно.
.
